1.\(N=x^2+\frac{1000}{x}+\frac{1000}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^2.1000.1000}{x^2}}\)
\(\Rightarrow N\ge300\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x^3=1000\Leftrightarrow x=10\)
2.\(P=\left(5x+\frac{12}{x}\right)+\left(3y+\frac{16}{y}\right)\ge2\sqrt{60}+2\sqrt{48}=4\sqrt{15}+8\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow5x=\frac{12}{x};3y=\frac{16}{y}\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{12}{5}};y=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)

\(\)

phải là \(\le12\)

A(\(\sqrt{x}\)+2)=x+12

đặt \(\sqrt{x}\)=a

khi đó A(a+2)=a²+12

\(\Leftrightarrow\)a²-aA-2A+12=0

\(\Delta\)=A²+8A-48\(\ge\)0 (vì luôn tồn tại a)

A\(\ge\)4

vậy min A là 4

\(đkxđ\Leftrightarrow x\ge4\)

\(P=\frac{\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}}{\sqrt{\frac{16}{x^2}-\frac{8}{x}+1}}\)

\(=\frac{\sqrt{x-4+4\sqrt{x-4}+4}+\sqrt{x-4-4\sqrt{x-4}+4}}{\sqrt{\frac{4^2}{x^2}-2.\frac{4}{x}+1}}\)

\(=\frac{\sqrt{\left(x-4+2\right)^2}+\sqrt{\left(x-4-2\right)^2}}{\sqrt{\left(\frac{4}{x}-1\right)^2}}\)

\(=\frac{|x-2|+|x-6|}{|\frac{4}{x}-1|}=\frac{x-2+|x-6|}{|\frac{4}{x}-1|}\)

Dùng bảng xét dấu nha

tích mình với

ai tích mình

mình tích lại

thanks

Tích mình đi mình tích lại

\(P=4\left(\frac{x}{y+4}+\frac{y}{z+4}+\frac{z}{x+4}\right)=4\left(\frac{x^2}{xy+4x}+\frac{y^2}{yz+4y}+\frac{z^2}{zx+4z}\right)\)

\(\ge\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{xy+4x+yz+4y+zx+4z}=\frac{4.12^2}{4.12+\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(\ge\frac{4.12^2}{4.12+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\frac{4.12^2}{4.12+\frac{12^2}{3}}=6\)

Ta có

\(\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{xy}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{x}{\sqrt{y}}.\frac{x}{\sqrt{y}}.\frac{xy}{8}}=\frac{3x}{2}\)

Tương tự cho 2 cái kia

Cộng lại theo vế:

\(2M\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)-\frac{xy+yz+zx}{8}\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{24}\ge12\)

Vậy  \(M\ge6\)

Giải lại

Ta có

\(M^2=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+2\left(\frac{xy}{\sqrt{yz}}+\frac{yz}{\sqrt{zx}}+\frac{zx}{\sqrt{xy}}\right)\)

Lại có

\(\hept{\begin{cases}\frac{xy}{\sqrt{yz}}+\sqrt{yz}\ge2\sqrt{xy}\\\frac{yz}{\sqrt{zx}}+\sqrt{zx}\ge2\sqrt{yz}\\\frac{zx}{\sqrt{xy}}+\sqrt{xy}\ge2\sqrt{zx}\end{cases}}\)

Cộng theo vế suy ra  \(\frac{xy}{\sqrt{yz}}+\frac{yz}{\sqrt{zx}}+\frac{zx}{\sqrt{xy}}\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

Do đó

\(M^2=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+2\left(\frac{xy}{\sqrt{yz}}+\frac{yz}{\sqrt{zx}}+\frac{zx}{\sqrt{xy}}\right)\)

\(\ge\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)

\(=\left(\frac{x^2}{y}+\sqrt{xy}+\sqrt{xy}\right)+\left(\frac{y^2}{z}+\sqrt{yz}+\sqrt{yz}\right)+\left(\frac{z^2}{x}+\sqrt{zx}+\sqrt{zx}\right)\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{x^2}{y}.\sqrt{xy}.\sqrt{xy}}+3\sqrt[3]{\frac{y^2}{z}.\sqrt{yz}.\sqrt{yz}}+3\sqrt[3]{\frac{z^2}{x}.\sqrt{zx}.\sqrt{zx}}\)

\(=3\left(x+y+z\right)\ge36\)

Vậy  \(M\ge6\)

ĐT xảy ra tại  \(x=y=z=4\)

\(---------\)

Ta có:

\(x+y+4=\left(x+2\right)+\left(y+2\right)\ge2\sqrt{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\) (theo bđt  \(AM-GM\)  cho bộ số gồm hai số thực không âm)

nên  \(x+y+\left(x+y+4\right)\ge x+y+2\sqrt{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\)

hay nói cách khác,  \(2\left(x+y+2\right)\ge12\)  (do   \(x+y+2\sqrt{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}=12\)  )

\(\Rightarrow\)  \(x+y\ge4\)

Do đó, sau khi thiết lập điều kiện cho  \(x,y\) , ta tiếp tục áp dụng  \(AM-GM\)  cho 3 số thực dương đã cho trước, điển hình như:

\(\frac{x^3}{y+2}+\frac{y+2}{2}+2\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{\left(y+2\right)}.\frac{\left(y+2\right)}{2}.2}=3x\) 

\(\Rightarrow\)  \(\frac{x^3}{y+2}\ge3x-\frac{y+2}{2}-2\)  \(\left(1\right)\)

Đổi biến, thực hiện công đoạn trên tương tự đối với phân thức sau, rút gọn và biến đổi lặp lại:

\(\frac{y^3}{x+2}\ge3y-\frac{x+2}{2}-2\)  \(\left(2\right)\)

Gộp  \(\left(1\right)\)  và   \(\left(2\right)\)  với nhau cùng với dấu liên kết  \(\left(+\right)\) , khi đó:

\(\frac{x^3}{y+2}+\frac{y^3}{x+2}\ge\frac{5}{2}\left(x+y\right)-6\)

Lúc đó, 

\(M\ge\frac{5}{2}\left(x+y\right)+\frac{48}{x+y}-6\)

\(---------\)

Đặt  \(t=x+y\)  \(\Rightarrow\)  \(t\ge4\)

\(\Rightarrow\)  \(\frac{t}{2}\ge2\)  \(\Rightarrow\)  \(\frac{t}{2}-2\ge0\)  \(\left(3\right)\)

Ta biễu diễn bđt trên lại như sau:

\(M\ge\frac{5t}{2}+\frac{48}{t}-6\)

tức là   \(M\ge\frac{5t}{2}+\frac{t}{2}+\frac{48}{t}-6-2\)  (do  \(\left(3\right)\)  )

hay   \(M\ge\frac{5t}{2}+\frac{t}{2}+\frac{48}{t}-6-2=3t+\frac{48}{t}-8\)

Mặt khác, ta lại có:  \(3t+\frac{48}{t}\ge2\sqrt{3t.\frac{48}{t}}=24\)

nên  \(M\ge24-8=16\)

Vậy,  \(M_{min}=16\)

Dấu  \("="\)  xảy ra khi và chỉ khi  \(x=y=2\)

\(\Rightarrow\frac{x^3}{y+2}+\frac{y^3}{x+2}+2.\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}\right)\ge3\left(x+y\right)\)

 \(\Rightarrow M+8\ge3\left(x+y\right)+\frac{48}{x+y}\ge2.\sqrt{3.\left(x+y\right).\frac{48}{x+y}}=24\)( do (1) và áp dụng bdt cosi cho 2 số dg) . Dấu "=" xảy ra <=> x=y=2  . OK.

Min M =16, x=y=2

với đk 0 ≤ x # 1, biểu thức đã cho xác định 

P = (x+2)/(x√x-1) + (√x+1)/(x+√x+1) - (√x+1)/(x-1) 

P = (x+2)/ (√x-1)(x+√x+1) + (√x+1)/ (x+√x+1) - 1/(√x-1) {hđt: x-1 = (√x-1)(√x+1)} 

P = [(x+2) + (√x+1)(√x-1) - (x+√x+1)] / (x√x-1) 

P = (x-√x)/(x√x-1) = (√x-1)√x /(√x-1)(x+√x+1) 

P = √x / (x+√x+1) 
- - - 
ta xem ở trên là biểu thức rút gọn của P, để chứng minh P < 1/3 ta biến đổi tiếp: 

P = 1/ (√x + 1 + 1/√x) 

bđt côsi: √x + 1/√x ≥ 2 ; dấu "=" khi x = 1 nhưng do đk xác định nên ko có dấu "=" 

vậy √x + 1/√x > 2 <=> √x + 1 + 1/√x > 3 <=> P = 1/(√x + 1 + 1/√x) < 1/3 (đpcm)